KOMPLEXNÍ ČÍSLA – Matika pro SŠ s Markem Valáškem ― 11. díl

Přátelé, vítejte na 11. streamu matiky pro střední školy s Markem Valáškem.
Uskutečnil se 15. 12. 2020 v 18 hodin.

✍ TÉMA: Komplexní čísla

Všechny naše streamy naleznete zde

Automatický transcript

Minuta: 0
Minuta: 12
Dobrý večer přátelé, vítám vás u dalšího streamu a tentokrát to bude pro střední školu. A dneska si budeme povídat o komplexních číslech a já jsem si zase repráky. Takže vím, že vím že zvuk The Tak to je dobrá
Minuta: 13
zpráva. Tak zdravím vím co s moderátory, kteří moc děkuji za pomoc a zdravím. Samozřejmě vás všechny a dneska to bude v komplexních číslech a možná jste si už všimli, že ta moje vpravo dole je pro kód pro platbu to psali jste hodně, že byste chtěli nějaký nějaký způsob, jak nás podpořit. Takže pokud nás chcete podpořit. Líbí se vám ty streamy Líbí. Líbí se vám to co děláme, tak tak nás můžete podpořit libovolnou částkou budeme za to rádi naskenuji pá8. Jak udělat tak musí se to dělat nějaký nějaký apky jakoby. Já taky dneska budu komplexní čísla a Rozhodla jsem se udělat komplexní čísla z několika důvodů důvod číslo jedna je, že to je hrozně zajímavé téma důvod číslo 2 je že A to není ve státní maturitě, ale je
Minuta: 14
to v Drtivé většině přijímacích zkoušek a setkám mám přes tím, že jak jsou ty, jak jsou ty osnovy ve školách prostě jako našlapaný a tak tak na komplexní čísla velmi často nezbývá moc času, nebo není nezpívá vůbec žádný čas. A jako Vždyť to není se nic neděje, na je teď to není u Maturity, takže vlastně o co go jako a přitom je to nesmírně zajímavé a užitečné a a a krásný téma a hlavně ho budete potřebovat. Pokud se na mě díváte třeba teď čtvrťáci, tak ho budete nutně potřebovat u většiny přijímaček ekonomka ČVUT prostě. Jakýkoliv technické školy přijímačky o většinou mívají jako jejich obsahem bývají komplexní čísla. Jo tak No pokusím se dneska tady udělat takovou věc, která stojí nejsem úplně jistý,
Minuta: 15
že se jako čas čas to dělá a to je to, že zkusíme k těm kompletní číslu přijít dojít nějakou jako přirozenou přirozenou formou. Jo a je to vlastně tak, že že jo, když když se dívám a kolem sebe ve světě po světě, tak jako jedna tužka 5 tužek prostě dvě auta 3 lidi a tak dále, kde jsou ty komplexní čísla jo? Oni to nejsou, že jo. Takže takže my s nimi nemáme nějakou reálnou reálnou zkušenost, ale ve skutečnosti ty komplexní čísla nám pomáhají. A popisovat tu realitu kolem nás. Která vyžaduje nějaký matematický matematický popis? Tak jak to vlastně se tady snažím jako celou dobu vysvětlovat, že že vlastně tam Matematika je. Kromě toho, že to je obor sám o sobě, že u krásný tak ale je to i nástroj, jak popisovat, jak popisovat
Minuta: 16
ten svět kolem nás a vesmír kolem nás a a komplexní čísla jsou toho jako Nedílnou součástí komplexní čísla využijete v elektrotechnice. Když budete počítat nějaké obvody, budete je použijete je, když budete počítat jakýkoliv jakýkoli vlnění, to znamená optiku nebo nebo třeba zemětřesení, jak se šíří vlny vlny skrz jako zemi, tak kdekoliv, kde kde vlastně bude docházet útlum, tak tam použijete komplexní čísla v komplexní čísla se používají v kvantové mechanice. Pokud budete budete budete studovat jako fyziku a smusy. Dalších míst, že je to je to i to je to krásný den a je to důležité téma a ale my často se trošku zapomíná a velmi často se prostě řekne dobrý. Tohle jí na druhou je Mínus jedna. Čau prostě a hotovo a jdeme s tím
Minuta: 17
počítat. Jo a dneska mi si zkusíme udělat kolem toho ještě nějaké věci kolem aby aby to aby to nebylo tak násilný, aby to bylo trošičku jako přirozenější tak a já se ještě podívám do chatu, jestli je všechno všechno v pohodě paráda super. Tak jo No tak dobře, tak jdeme na to takže A než se propracujeme ke komplexním číslu, tak tak já bych chtěl, abychom se podívali na následující věci jo, protože tím komplexním číslům. Jsme se jsme se jako jako propracovali jako lidstvo taky taky po po nějakém vývoji jo a my se podíváme na na to, jaký máme teda typy čísel. Jo a A kde jsi? Kde se tam třeba ty čísla objevují, jo. Takže vy určitě znáte. Vy určitě znáte, že čísla, že máme celá čísla, že jo. Jak se značí celé čísla
Minuta: 18
celé číslo se značí. Jestli se nepletu, jo, tak většinou Jaký makovou dvou dvou nožičkou, že jo? A to jsou to je co začít cvičit. Myslím přirozené čísla takhle přirozené čísla, to jsou čísla jako 1 2 3 4 a tak dále a tak dále, že ruším přidáme i nulu a když jim přidáváme i nulu a záporné čísla celý že jo, tak to jsou čísla, kterým říkáme. Která čísla celá a jsou to čísla z teda a jsou to jakože 1
Minuta: 19
jo, ale pojďme se k tomu postupně propracovat či Budeme budeme řešit nějaké rovnice, že jo, tak když se budu bavit o o přirozených číslech 1 2 3 4. 5, jo, tak přirozené čísla, ty jsou řešením jakého typu rovnic. No třeba třeba třeba rovnice typu x Mínus jedna nebo x mínus 3 se rovná 0 ne, když budu řešit takovouhle rovnici x mínus 3. Rovná se 0, tak dostanu řešením x rovná se tři a to je nějaký přirozené číslo. Jo a kdyby jste se bavili s lidmi dostatečně zpátky do historie, jo, tak A chtěl bych bavili se s nimi o řešení rovnice x plus 3. Rovná se nesmaže x by bylo jako mínus 3, že jo záporné číslo celý to znamená. To jsou ty to je to je řešení z množiny celých čísel, tak
Minuta: 20
by si klepali na čelo a říkali mi Hej ty jo, jako co jaký stát první čísla. Sice mám jednu krávu, nebo dvě krávy, ale ještě jsem v životě neviděl minus 3x, jo. Takže bylo by jim to divné. Jo a potom ok dobře s rozvojem nějaký jeho nějakého obchodu a tak dále, tak klidně vynalezli vynalezli něco, čemu se říká půjčka nebo dluh, že jo? A najednou už záporné čísla začali mít smysl, ale do té doby dokavaď neexistovalo něco jako dluh. Tak nebo půjčka jo dlužím tudíž nemám a naopak mám ještě mínus, že jo, tak tak záporných. dávaly smysl pro mě a postupem času, že jo, když bych se šel třeba takovouhle rovnici 2 x ještě ještě si tady na hodím do O2 a když bych třeba řešil rovnici 2 x
Minuta: 21
mínus 3 2 x mínus 3 se rovná 0 vyřešil takovouhle rovnici, že jo tak najednou. Už si nevystačíme ani s přirozenými čísly a dokonce si nevystačíme ani spani s celým a čísla máš a řeším tyhle ty rovnice bude u 2 x rovná se tři. Takže x jsou tři poloviny a tohle to vím, vy znáte jako racionální čísla zlomky najednou potřebujeme pracovat se zlomky, jo, takže a ty a ty racionální čísla značí Made véčkem, že jo a Potom najednou, že jo bych mohl třeba řešit další typ rovnice a třeba takovouhle x na druhou mínus dva rovná se 0. Jo s řešením t l s t t t rovnice,
Minuta: 22
že jo, no x na druhou je 2x. Já už dneska víme, že spíš absolutní hodnota z X. Jo bude odmocnina ze dvou chilli ixko bude plus nebo mínus odmocnina ze dvou a odmocnina ze dvou není ani racionální číslo odmocnina ze dvou je tak zvané iracionální číslo. Je to číslo, které se nedá vyjádřit ve tvaru zlomku. Jo a a v historii byli lidi, který který za za to že tvrdili, že existuje něco jako iracionální číslo něco jako je číslo, které nejde vyjádřit ve tvaru zvonku, tak za to zaplatili životem. Jo jeden z nich. A teď nevím, jak se jmenuje jmenoval, protože si to nepamatuji. Samozřejmě mám hrozně špatnou paměť na historii, ale byl to jeden byl to jeden ze studentů Pythagoras. A jo, který a říkal Hele Pythagoras i jako ty,
Minuta: 23
jako prostě si vymyslel nebo že u nich v té v té jeho škole vymysleli nějakou vymysleli nějakou tu tu tu pythagorovu větu, jo. Hej, ale když budeš mít jako trojúhelník pravoúhlý, který má jednu odvěsnu jedna druhou odvěsnu jedná. Tak tohle je odmocnina ze dvou a hele, ale víš co je hrozně zajímavé, že ta odmocnina ze dvou není není racionální číslo jo, že to nejde napsat jako zlomek a oni tenkrát jako se s ním moc neuměli srovnat a teď nevím, jestli ho ukamenovali nebo utopili a nebo vyhnali jedno jedno z toho jo prostě jako nezachovaly se k němu moc hezky přesto, že přestože Milý Borec jako nejenom, že to Jo jo, ale očekávali byste, že když je to člen nějaké matematické školy, že jo fluffy filozofické, takže jsme se nějaké důkazy a on se nesl důkaz, že odmocnina ze dvou není racionální číslo a byl za to
Minuta: 24
byl za to velmi krutě potrestán. Jo A takže V určité části historie si lidi vůbec nedokázali představit, že by mohlo existovat nějaký číslo, který není racionální jo, který je tak za ně iracionální a jestli jste se dívali třeba na můj ty jo a teď nevím možná na prvním středoškolským Steamu jsem dokazoval, že odmocnina ze dvou je iracionální číslo a Ukazoval jsem to tuším i Ukazoval jsem tuším inanna vysokoškolským, jakým streamu jo? Takže a dneska to bereme jako úplně běžnou věc, že je odmocnina ze dvou, to je jasné, že jo. To není racionální číslo, nedá se to napsat jako zlomek je to je to číslo, který má nekonečný desetinný rozvoj a ten desetinný rozvoj. Periodický Nemůžu to napsat jako zlomek jo? No, takže to je to je třeba řešení, to je řešení takovéhle rovnice a a teď co kdybychom si to bychom šli dál, že jo.
Minuta: 25
Co kdybychom šli, takže to jsou. To jsou iracionální čísla, jak já to napíšu, že to je i raceshell dohodli Race. Ne většinou říkám a to, že tu jsi vlastně reálná čísla, že tady Už potřebujeme že jo, že reálná čísla obsahují ty racionální čísla plus ještě ty iracionální čísla, ale já bych tady mohl říct, že když když ta rovnice bude vypadá tímhle způsobem, že to bude třeba nějaký doplněk do do do racionálních čísel jo teda do doplněk racionálních čísel do reálných čísel jo iracionální čísla, že jo a nebo tady můžeme říct, že to doplňujeme takhle do jo doplněk do do množiny reálných čísel. No a pojďme to popotáhnout trošičku dál, že jo. Co když budeme mít rovnice x na druhou Jedná se rovná nule jo, no, tak Jaké je postup že jo? No tak budeš tu 1
Minuta: 26
že jo. Volej d3s. Nemůžu od noci a záporné číslo, že jo. Jo A pokud bych to hned to řekl, jo, umíš řekla dala jako za pro ni číslo nejde odmocnina, že jo, tak se vlastně jako Stavím na podobnou úroveň jako jako kdybych říkal činnost a dle rovnice taky nejde vyřešit, protože přece záporné číslo co to je nic takového neexistuje, nebo jako že bych tvrdil, že odmocnina ze dvou je jako není není iracionální číslo jo. Nebo že nemůžou existovat zlomky, jo, protože na určité úrovni vždycky lidi prostě měli jenom brali jenom to co znali, že jo. No tak dobře. Takže pojďme prozkoumávat, prosím a prozkoumávat teda možnost jo. Takže půjdeme teďkon svojí mysl a a připustíme, že by mohlo existovat řešení téhle té rovnice
Minuta: 27
a že by to třeba nemuselo být. Takže jako ta rovnice nemá řešení, jo? No a Abychom to mohli udělat, tak budeme muset zavést zavézt komplexní čísla a o tom si dneska budeme o tom si dneska budeme povídat. Jo, tak jo, samozřejmě sem, prosím vás zapomněl říct. Pokud budete mít nějaké otázky dotazy a tak dále. Pište jedu do formuláře, který který tam je. A teď prosím moderátor, jestli by tam hodil Link. A my se jdeme ponořit do my se jdeme ponořit do komplexních do komplexních čísel. Jo dobře. Takže pojďme se bavit o tom, že chceme vyřešit byste mi zjistit, co to je a co to je, co je řešením rovnice x na druhou se rovná Mínus jedna jo. Tak
Minuta: 28
první co by nás mohlo napadnout, že jo je že bychom ty kandidáty hledali teda mezi reálným a číslama Jo dobře. Bude trošku problém, že jo? Protože když mi to kdyby to reálné číslo, který by bylo řešení té Lesní rovnice, jakékoliv číslo, že jo důkladný. Tak když nějaké číslo emocím na druhou, tak dostanu kladné číslo, takže asi dost těžko mínus jedničku. Jo, tady klidně si můžete představit mínus dvojku, jakýkoliv jakékoliv číslo. Dobře ok a tak tak tak ne. Jo a no. Co kdyby bylo záporný že jo? Co kdyby to 100x, který by mělo být řešení téhle té téhle té rovnice mělo být záporné. No to je taky problém, že jo, protože když nějaké nějaké číslo záporné mocniny na druhou, že jo, tak je to mínus 1 krát Mínus jedna ono to je plus jedna a zase to není Mínus jedna a že za podmínky jsou
Minuta: 29
to taky nebude, že jo. A když ji musím jakýkoliv záporný reálné číslo na druhou dostanu číslo Kladno problém dobře. Takže si budu takže budu muset jako říct asi jednu věc, že jo, tak asi teda řešením téhleté rovnice. Jako nebude nebude. Comp nebude reálné číslo a bude to nějaký jiný nějaký jiný typ čísla jo. Stejně tak jako když když jsme, když jsme měli rovnici x mínus 3, rovná se 0, tak řešením. Byla trojka a pokud jsem pokud jsem v pračlověk, který umí, že jsem pračlověk, který umí řešit rovnice, ale ale nezná záporné čísla, jo. Tak tuhle tu tuhle tu rovnici umím vyřešit a tuhletu rovnici neumím vyřešit, že jo, tak si budu muset asi připustit, že existují i nějaké jiné číslo než kladný, kterými budou které budou řešení v téhle té Roudnice. Jo dobře a tak a
Minuta: 30
teď teda Jaký ty čísla budou jo, nebo co to bude za číslo? No, tak asi to bude něco nového. Jo a když nevím, jak jak to jako uchopit a když nevím, jakým způsobem se jako na to, když to má být jako nová věc, že ho chci vymyslet nějakou novou věc, tak jenom na chviličku jako připustím, že to číslo existuje. Adam holt nějaký nový název na mu nějakou nějakou novou nějaký nějaký nový název. Jo a A uvidím, co se stane. Jo tohle je to je věc, která se velmi často dělá jo, když když chcete posunout hranici poznání. A kam máte nějaký Paradigma? Že něco nejde, jo, tak docela dobrý dobrý postup je říct
Minuta: 31
si Hele. Pojďme si na chvíli zahrát takovou hru. Buď mi začíná na chvilku si zahrát na to, že to jde a pojďme zkusit, co teda co se z toho vyklube. Co by se stalo, kdyby to náhodou šlo, takže Dobře pojďme říct, že na mě na chvíli říct, že bychom měli najít nějaké číslo. I když dáme na druhou, tak bude mínus jedna a jeli jsme domů. Že to nemůže být reálné číslo, tak tady nemůže být jako nějak nějak nějaký čísílko jo, ale budu si to muset nějak pojmenovat a já si to pojmenuji jako a a a a řeknu, že i na druhou je mínus 1 jo? A tohle to je od slova Imagine. Představme si, že to jde imaginary number, jo? A my mu říkáme imaginární číslo a pojďme přes Pojďme si představit, že existuje nějaký které, když umocníme na druhou, tak dostanu tak dostanu mínus jedničku, jo a pojďme teď jako
Minuta: 32
prozkoumat ten vesmír, který se nám jako otevře, když když tohle to připustíme, jo. Tak dobře. Takže tohle to bude naše abych to nuda. Tohle si to bude naše náš jako základ. Jo toho toho co bude, o čem si budeme dávat povídat a tohle To bude vlastně naše premisa toho, že Vstupujeme jako do nového světa. Jo s těmi letními pravidla, my začínáme začínáme hrát začínáme hrát a matematici, možná jedna věc, jo. Vždycky, když děláte nějakou nadstavbu v tomhle případě. My děláme na stavbu. Pouštíme se do komplexních čísel, tak by to měla být nástavba těch reálných čísel. Jo a ty tu jak chceme, aby to fungovalo. Jo je že ne, že Zavedu něco nového a
Minuta: 33
tím úplně zbourám všechno starý naopak. Chci, aby ta ten můj nový systém ten můj nový svět, který jako tvořím jo, tak aby Jako zachovával a respektoval ten starý svět. To znamená, že když já Zavedu jako komplexní čísla. Jo a nějakou imaginární jednotkou a tak dále. To jí říkám a imaginární jednotka, tak tak my chceme, aby to fungovalo hezky s reálnými čísly. Jo to znamená například, abychom operace, které děláme, když sčítáme nebo násobíme reálné čísla, tak abychom to samé mohli dělat s komplexními čísly, aby aby umocňování tak jako dělám s reálným naší sama jsme mohli dělat s komplexními čísly to jak když když se střídáme určitě i dělíme parnu a tak dále, já bych všechny tyhlety tyhle ty věci zůstaly zachované, aby to bylo konzistentní
Minuta: 34
jo, tak pojďme teď chviličku zkoumat, co to teda vlastně ta typy komplexní čísla jsou jo, takže je Možnosti je teda dobře. Na druhou je mínus 1. 2. 2. Možnost je, že že se na to budu dívat tak že že íčko je odmocnina. z mínus jedné odmocnina z mínus z mínus jedné a tak teď asi to takhle Z názvu a pojďme pojďme udělat to naše rozšíření. Takže my jsme zvyklí na to, že máme nějakou, že máme nějakou reálnou osud tady žijou. Ty naše nám známá. čísla No takhle je někdo na k0 tadyhle jednička život tak dále, tak doma mi kde tu odmocninu ze dvou. Jo, za
Minuta: 35
kterou by rád před pár tisíc let teď jako zabili. Prostě a tak dále tak 10 a tady leží u ty naši záporné čísla. Tak jo a je asi jasný, že ty Imagine a a a a my víme, že jo, že ta reálná reálná osa spojitě vyplněná těma reálná čísla. My jsme a že ty, že ty imaginární čísla jako nemůžou být prostě na té testy o se tak kde můžou být tak. Tak bych to udělal tak, že jsi tady. Zavedu novou 8
Minuta: 36
mohlo žít tady dle ne? Tohle to je číslo, i tohle to tenhle budík. Jo tohle tenhle ten budík reprezentuje číslo 1. Tenhle budík reprezentuje číslo 2 odmocnina ze dvou. Tak tenhle budík reprezentuje jednu i tenhle budík reprezentuje 2e. Pane budíky reprezentuje 3. Co reprezentuje tenhle budík? no tenhle budík bude reprezentovat. Nějaké číslo, který je složený, že jo? Je složený z reálné části a s imaginární části, proto jim říkáme Mimochodem komplexní čísla, protože jsou složený jako komplex ze dvou částí, takže tohle jsem budík. My bychom mohli říct, že to je číslo jedna plus dvě i třeba
Minuta: 37
v téhle budík. By mohl být. Mínus 2 plus 1 x mínus 2 plus Tomu se říká komplexní rovina nebo taky někdy se tomu říká Gaussova rovina a je to způsob, jak můžeme reprezentovat ty komplexní čísla, jo. Tak a teď budeme si během dnešního večera ukazovat spoustu zajímavých věcí, který ty komplexní čísla jako těla u mě já tak jo. A já začnu takovými pár jako základními věcmi, které pokud bych se nepokoušel samozřejmě z komplexního čísla mast seznámení, tak tohle pro vás je jako trička a opakování. Ale pokud se na mě dívá Někdo Kdo ještě nikdy o komplexních číslech neslyšel, tak tak vlastně teď se ponořuje mi nějakou nového světa, že jo, takže musíme jít jako hodně opatrně a pomalu, ať je proto proto to budu dělat budu dělat opatrně, jo, takže dobře. Takže
Minuta: 38
pojďme pojďme se podívat, co ty komplexní čísla jako dělají. Takže já Nějaký nějakou imaginární jednotky a zároveň vím, že ji na druhou je mínus 1, že jo? Dobře, kolik by bylo i na třetí? Taky na třetí. No to je přece i na druhou krát i jiné i na druhou je Mínus jedna, takže to je mínus 1 krát, ale je to mínus. A kolik by bylo i na čtvrtou? No i na čtvrtou. Je jí na druhou krát i na druhou, že jo? To znamená, že to je mínus 1 krát Mínus jedna čili je tu jedna. Kolik by bylo i na pátou? No i na pátou je jinak 4 krát i jiné my víme, že i na 4
Minuta: 39
je zásadní. Kolik je i na šestou No to je i na pátou kryjí víme, že i na pátou její jo? Takže je to i krátký i krátký je mínus 1 vidíte, co se tady děje. Jinak 6
Minuta: 40
vydají na 4
Minuta: 41
23. Je mínus, jo? Mimochodem, prosím vás, třeba zrovna tenhle vztah úplně jako jednoduchá základní vlastnost taková léta cykličnost těch mocniny komplexních čísel, tak to je velmi velmi oblíbený příklad u spousty přímo u spousty přijímaček na vysoké školy. Jo, tak vám tam i na 27 plus i na 35 mínus i na 19
Minuta: 42
jako na nějaké číslo, které když umocníme na druhou, tak dostanu mínus jedničku, jo a druhá možnost, jak se jak si to představovat, ty komplexní čísla je pomocí pomocí nějaký geometrie a Já tady teď udělám takovou věc a mimochodem to co vám teď ukážu, jo. To není jako že sis něco vymyslel, protože To je sranda a jako je to hezký na ukázání tahle ta vlastnost toho, že budeme teď násobit komplexním číslem něco. Nebojte, pak se ještě všechno jako vysvětlíme do detailu. Tak to se používá jako velmi často po pro třeba v počítačové grafice. Jo můžete buďto počítat v počítači grafice s nějakýma matice a nebo s komplexními čísly jo, tak hele, já si nakreslím takhle to. Takhle tu reálnou a imaginární osm. Jo a vezmu si tady dle čísílko 1. Jo?
Minuta: 43
A já si tuhle tu číslo jedna mám, tak mám číslo 1 a vynásobím ho očkem. Když číslo jedna vynásobí míčkem. Tak co dostanu dostanu číslo a že jo dobře. Kde je na tady v té v té gaussově rovině nebo v té v té komplexní rovině? Kde je tady číslo i No, to je tady, že jo tohle imaginární OSA a tady na ose Na imaginární ose ve vzdálenosti 1. Mám číslo a jo, já ho tady jako jako pojmenuji, jo a Dobře možná ještě není úplně vidět, co se s tím co se s tím co jsi s tou jedničkou vlastně stalo. Pojďme pokračovat dál. Co když tuhle jí vezmu a vynásobím ho znovu číslo jo, co dostanu dostanu mínus jedničku, že jo, kde bude mínus sednička mínus Jednička v té komplexní rovině bude tady. A dobře, to je ale zajímavé, teda jo to
Minuta: 44
skoro vypadá, jako kdyby tu násobení tím číslem tím tuktu imaginární jednotkou tím číslem komplexním číslem ní prostě imaginární čísla od a za rotoval. Ona ho o 90 stupňů, jo a pak zase vezmu tohle číslo vynásobím hovínkem a za rotuje se mi to o 90 stupňů. Pojď mi vyzkoušet, jestli to funguje i dál. Jo dobře. Hele, tak když vezmu mínus jedničku a vynásobím jí míčkem. Co dostanu dostanu číslo mínus p&r. Pak je tady na té ose mínus. No nebo v té v té rovině to je tady, že jo? Mínus 1 na imaginárního s chilli. Toto je číslo mínusy. Ondřej a pojďme zkusit, jestli funguje i dál, když vezmu mínusy a vynásobím to each Camp, co dostanu
Minuta: 45
dostanu mínus b na druhou, ale my už víme, že i na druhou je mínus 1, že jo. To je to s čím jsme vstupovali do tohohle toho nového světa, takže Super, přitom mínus mínus jedna Mínus Mínus jedna je plus jedna a hele rotace o 90 stupňů a jsem v tý jedničce čili jeden ze způsobů, jak se dívat na na komplexní čísla je třeba ten, že můžete pomocí komplexního čísla provádět nějakou rotaci. Jo a konkrétně třeba když je to číslo číslo i tak rotuje, t o 90 stupňů v té komplexní v té komplexní rovině. Jo a budeme si potom možná jestli se k tomu dostaneme jo. A nejsem si úplně jistý, na kolik mi dneska na co všechno mi dneska by zbytečné, ale Kdybyste
Minuta: 46
náhodou do těch komplexních čísel chtěl jako proniknout opravdu hluboko, tak a a pokoj a jakou vědět o nich úplně všechno, co se na střední škole od nich učí a možná ještě o kousek o dost kousek víc, tak mám mám kurz na komplexní čísla. Jo a mathematicator u komplexní čísla máte kurz, který máte od A do Z všechno co mimo komplexních číslech možná nějaké věci, který nevím to bude super. To si nemyslím dobře. No, tak jo, takže dobře. Takže pojďme teď teda chviličku si hrát na to pojo, zatím jsme nenarazili na žádný problém, jo. Zatím jsme nenarazili na žádný problém, tak tak pojďme dál pokračovat v tomhle tom prozkoumávání. naopak odhalujeme zajímavé vlastnosti, které by třeba mohly
Minuta: 47
být užitečné, že jo a dobře, takže Teď vlastně jako když jsme se trošku s tou komplexní jednotkou seznámili, tak tak prostě řekneme, že teda dobře, že to je svět, který stojí za to prozkoumávat a za definujeme nějaké komplexní čísla. Jo a ty komplexní čísla budeme brát jako čísla z té komplexní noviny a ty komplexní čísla budou mít vždycky nějakou reálnou část nějakou imaginární část a pokud to číslo bude ležet na té reálné ose, tak má pouze reálnou část jo. To nemůže být třeba číslo jedna tady nemůžu být číslo 2 má nulovou tu imaginární složku, jo, když to číslo bude ležet čistě na té imaginární ose. No, tak prostě je to číslo. Já tady nechci psát jo to tele bez nás imaginární OSA a já tu jejich souřadnici tady chci psát jako jedna dva. Ale to číslo, které je tím reprezentovaný Jakub a dvě i Jo, tak
Minuta: 48
No a když to číslo bude ležet mimo tu reálu 8a. Imaginární osud. Tak třeba tady nebudu mít číslo, které bude mít reálnou složku 2 plus a imaginární složku jí jo. A víte, že to vlastně velmi velmi jako připomíná analytickou geometrii. Jo a budeme si zavádět nějakou věc, co říkáte na komplexní číslo a to komplexní číslo většinou. Oni se něčemu značí jako jo. Stejně tak jako reálné čísla značíme nějaký mi písmenka od začátku abecedy a b c d. Tak komplexní čísla značíme písmenkami od konce abecedy Většinou jo. Takže třeba z dvojité w a tak dále jo, no a budu teda budu teda to uvažovat tak že to komplexní číslo má nějakou reálnou část,
Minuta: 49
která bude a plus nějakou imaginární část, která bude B. Komplexní krátkou komplexní jednotka, jo, takže můžu mít právě třeba číslo 2 plus 1 nebo 3 plus 2e nebo mínus 5 mínus čtyři i jo. A tímhle s tím způsobem city city komplexní čísla, tak je budu značit Mimochodem tomuhle tomu se říká algebraický algebraický tvar toho komplexního čísla a rovnou tady řeknu jednu takovou věc jo získat terminologie a Bacha jsou to časté chytáky u právě u přijímaček. Tahleta mínus pět kg a to áčko jo, to je reálná část toho kompletní komplexního čísla a ta imaginární část toho komplexního čísla jo. Prosím já si jenom ta mínus čtyřka je to jenom ten koeficient u toho víčka, jo?
Minuta: 50
Imaginární částí tohle komplexního čísla mínus 5 mínus 4 a není to mínus Čtyři. Ale je to jenom tam mínus čtyři typický chyták u přijímaček, na kdy, oni Vám dají něco spočítat a řeknu a Imaginární částí tohoto komplexního řešení komplexního čísla, která který je prostě řešením takhle tohle příkladu by to říkal vyřešíte a imaginární částí řešení je abych vám najít na výběr mínus čtyři. 5 mínus 5 a mínus čtyři i A, když si kafe jo, jasně super mínus čtyři i mi to vyšlo, že jo to tam šlo by to mínus pět minut čtyři i tak za kroužku mínus čtyři a je to blbě, máte smůlu Čágo belo a imaginární část jenom ta mínus čtyřka. Jo, tak to jen taková jako kojit prostě. Pokud se chystáte někam na přijímačky a dobře.
Minuta: 51
Pojďme zkusit, jak bychom s těma číslama a mohli mohly zacházet jo, když má a když to co jsi mi teď vlastně udělali, my jsme zavedli nový typ čísel, že jo. A když Zavedu nějaký nový typ čísel, tak bych měl říct, jak se s nimi číslama teda zachází a to jakým způsobem se s těma číslama zachází by mělo být konzistentní s tím. Jak se zachází s reálnými čísly, nesmí to být spolu v rozporu. Jo jinak by ty Jinak by si spolu ty dvě věci ne, povídali by se rádi. No a my chceme naopak, aby aby ty reálné čísla, který jako doteď jsme znali a a doteď byly tou naší doménou, že jo, tak aby aby to v rámci těch komplexních čísel, kterých je jako velká řada, že velká spousta a virální
Minuta: 52
čísla. Vidíme, že vlastně jako tvoří jenom jeden malý pásek tady. Jenom jednu jednu jednu přímku celý v komplexní rovině. Pojedu teď nás celý svět. Tak mi ho nechceme pokazit tím, že zavedeme nějaké komplexní čísla, tak potřebujeme, aby všechno všechno hezky plynule navazovala a fungovalo spolu, jo, takže budeme muset vymyslet, jakým způsobem s těma komplexními čísla, my budeme zacházet. Jo a když kdykoliv zavedete nějakou novou anketu, tak musíte definovat jako operace, který s těma styl a s těma číslama můžete dělat jo například. Jak se sčítají jak se násobí, jak se násobí reálným číslem a tak dále, jo? Jaké vlastnosti splňují ty operace, jestli jsou komutativní a jestli jsou jestli jsou jestli tam platit distributivní zákon asociativita, jestli to
Minuta: 53
funguje a tak dále všechny tyhle ty věci za nás vyřešili šicí pánové, jo a my k tomu přijdeme a jenom to jak jako jsi si vlastně a zkoušíme a a zjistíme, že se s těma komplexu na číslama kupodivu zachází úplně stejně, jako jste doteď byli zvyklí zacházet s písmenkama, jo. Takže třeba když byste měli A 2 x plus 3 y a k tomu byste chtěli přečíst třeba 3x plus 5y, že jo, tak ano, budete spolu sčítat x&y si že jo. To znamená, že když budu mít 2 x 3 plus 3 x plus 5 IPS a tak 2 x plus 3 x 5 x v osetii a sečtu ty y že jo Plus 8. Jo a úplně stejná věc funguje s těmi s těmi komplexního čísla mi
Minuta: 54
když budu mít dva plus tři jo, to bude jedno komplexní číslo a budu ho sčítat s číslem 3 plus 5e jo, tak všimněte si že to to 2 x to je. To jsou jakoby to je ta naše reálná část. Jo a to tři a pět i to je ta imaginární část. Takže budu s tím pracovat, jako kdyby to byly písmenka a prostě čísílka dva plus tři. Nemůžu se číst, takže to bude pět a sečtu imaginární složky 3 plus 5e bude 8. Jo a je to úplně přirozené. A víš, že budu chtít násobit budu s vydechovym zásoby písmenka jo nic nic za mě, prosím vázáním, že obě fungovalo, jo, tak když budu chtít násobit, tak aha Tak třeba řekněme, že bych chtěl vynásobit dva plus tři krát
Minuta: 55
5 mínus tři nebo pět plus tři plus, tři je to něco. Jdeme roznásobování. Jak kdy jo? Kdybys tady měl 2 x plus 3 x 5 plus 3 No tak co dostanu 2 x X5 je 10x X5 je 10. 2 x x x y je 6 x 2 x 3 x 6 a tak dál a tak dále, že od 3 x 5 x 5 15
Minuta: 56
Hele Dostali jsme 10 mínus 9 je jedna plus 6t plus 15. Je 21 eat6 super. Zase jsme dostali nějaké komplexní číslo, že to je fajn, i když teď to je komplexní čísla dostanu komplexní číslo a a ten způsob jak ho dostanu je úplně stejný, jako když jsem pracoval s písmenkama, když nás obě dvě kompletní. Zase dostanu komplexní číslo. Jo není důkaz, aby to byl Důkaz. Tak bychom to museli udělat obecně s nějakými s nějakými obecnými koeficient a musel bych to udělat jako a plus B a C plus de jo, ale vyšlo by to, vyšlo by to zase komplexní číslo, jo? že to jako fajn Tak co dělá občas trošku potíže že jo A jak se teda mezi sebou ty komplexní čísla Dělej Jo a pak to si říká ukážeme rychle já jsem Google je hodin Ty už kecám
Minuta: 57
tři čtvrtě hodiny tak nic tak tak schválně jo Tak tomu se to ještě nikdy nedělali tak samozřejmě to může být jako trošku obtížnější ale Dáme pauzičku teď Jo a Opište si zadání můžete zkusit započítat. Dáme si třeba dvě plus tři a zkusíme to vydělit čím třema mínus. Třeba třeba nebo nebo dáme si 5 mínus 3. I jo? Třeba tímhle tím to zkusíme tímhle tím to zkusíme vydělit. Jo? Já vám dám takovýho se už to někdy dělali tak Víte jak se to dělá, že pět let stejný. Dělí se to blbě, jo, takže se využije taková jako v šikovná vlastnost. Dáme si to vynásobíme si to pět plus tři a pět plus tři a všimněte si, že jsem teď tenhle
Minuta: 58
zlomek, který chci dělit si mezi sebou dělit 2 komplexní čísla, tak jsem ho vynásobí l1, že když něco viděli už jsem mu psal jen tak to vyjde 1, že já si to vynásob byl jedničku, jenom jsem vlastně rozšířil pěti plus 3F a jestli zkuste spočítat Během přestávky, co vám to vyjde. Jo tak jo, já se podívám teď na dotazy pište dotazy a po přestávce. Budeme budeme pokračovat našem objevování komplexních čísel.
Minuta: 64
Tak přátelé jsem zpátky a přečetla jsem si vaše komentáře a ještě si zavřu okno. tak takže jsou tam jsou tam nějaký hezký dotazy, takže se na ně na ně můžeme podívat a a pak se to pak budeme pokračovat dál dál v komplexních číslech, jo, takže td td td Tak je tady nějaký Je tady nějaký příklad. Já nějaká nějaká prosba o příklad z kombinatoriky nebo co, tak to kdyžtak uděláme ke konci streamu, jo? A pak
Minuta: 65
je tady krásný komentář hippasos z metapontu se jmenoval a měl být údajně utopený kvůli odmocnině ze dvou, tak děkuji moc za doplnění absolutně fantastický, takže prý prý výplatu hippasos z metapontu a tak. Teď si tady Otázka, kterou nevím, jestli a jestli dobře jako přečtu, ale Kolik je odmocnina a pak je tam čárka, takže asi pravděpodobně to znamená. Kolik je odmocnina z i jo? Dostaneme se k tomu. Možná se dneska dostaneme k odmocňování komplexních čísel i když si nejsem jistý, protože to nás ještě čeká poměrně dost práce a když tak kdybyste ale chtěli vědět, jak se budu moci u komplexní čísla, tak to mám pak to mám popsané podrobně v tom kurzu tak A pak je tady zajímavý dotaz nebo spíš? Spíš je to ani ne, tak dotaz jako jako poznámka
Minuta: 66
s výzvou jiné I tou Je reálné číslo. Měl byste to dokázat a myslím si, že ano a ale potřebuji k tomu něco čemu se říká komplexní exponenciála, prosím vás. Tohle je úplná odbočka, jo, teď skáčeme skáčeme hodně. Ježišmarja jsem to smazal, co tam co tam bylo. To nevím, jestli bylo tam tři. Plus by bylo tam tři plus 2 5 mínus 3 a bylo to takhle. Napište mi, jestli to klapne nebo ne, prosím dobře. I tou Jo jinak I tou hele. Tohle to je tohle to je reálné číslo. No to je pravda. A na
Minuta: 67
to abychom to abychom to měli ukázat. Je potřeba a tak zvaná komplexní exponenciála, která je definovaná asi takhle a na e x je cosinus x plus i sinus x a číslo i se dá vyjádřit jako číslo a je vlastně 0 plus, že jo. A to znamená, když jsi hodně, zvolím to x, tak tady je z toho kosinu x plus mínus, vyrobím to íčko. Je nějaký bod, kdy cosinus je nula a sinus je jedna. Jo bude když cosinus bude nula a sinus bude jedna, že jo, tak tak tahle ta pravá strana bude bude přesně a bude to 0 plus jednu i že jo a takový bod existuje. To je bod P půl, že jo, když bych napsal kus sinus cosinus
Minuta: 68
pí půl plus sinus pí půl, tak sinus pí půl 1 a cosinus pí půl 1. No já jsem, že když jsem si zvolil p-pool, tak vlevo musím jít na I krátký půl je to tak. Aha dobře. To znamená, že já můžu říct, že na pravé straně vlastně mám číslo i0 plus jedno, že jo, takže i se rovná a na i.p. Půl jo. No a teď už to akorát umocníme najít o ne. Takže teď to musím najít o A vpravo dostanu tu tu mojí najít. O kterých si z počítače jo? A to napíšu jsem i jiná I tou a vpravo vlevo. A vlevo dostanu,
Minuta: 69
co je na i.p. Půl to celé najít o že jo. No ale my víme, že když umocněn mocninu, tak se nám násobit i exponenty, že jo. To znamená, že to je ona. IP Pool kraví čili i na druhou krát pí půl a i na druhou je Mínus jedna, takže vlevo máme e na mínus té půl. Jo z toho i na druhou se stala mínus jednička. No a je najít IP na mínus té půl, že nějaké číslo, ale Je reálné, že jo, jo. Nevím, kolik to vyjde. Pierre 3,14 zhruba teda, že jedna cena mínus 1,7 1,67 řekněme nebo kolik 57. No tak je to jedna lomé přibližně 1 lomena 1,57. Jo s plus
Minuta: 70
mínus autobus. No a pak tři na 1,57 to můžu v kolik 5 třeba jo. Přibližně 0,2, že by to bylo nebo něco takového, jo. To chce hodně do kalkulačky. Tohle nevím, co přesně prostě to jakoby prostě dobře. Takže to by bylo tohle jo, ale prostě nás tady jsme samozřejmě jako použili použil a hodně pokročilou věc a to je to je komplexní exponenciála, jo, tak tam ještě zdaleka nejsme jo? A já teďkon se potřebuji udělat do chatu, jestli jsem si opsal dobře ten Dva plus tři pět mínus tři i Aha dobře, tak jo. Takže dva plus tři i5 mínus tři et22 plus tři i Jo, tak dobře, tak jo, tak kouknu
Minuta: 71
ještě jestli jsou tam nějaký nějaký další komentáře k tomuhle tomu diferenciální rovnice, určitě tady ne. Omlouvám se, tohle je středoškolským diferenciální rovnice jsou otázka vysokoškolského učiva. tak Tak dobrý den. Slyšel jsem, že imaginární jednotka se ve výsledku musí psát vždycky jako druhá za reálnou jednotkou. Je to pravda. Myslíte asi teda tu reálnou část a imaginární část. Pokud ano proč a není to pravda, ale je to zvyk. Jo je to zvyk, že vždycky první se píše ta reálná část a druhá ta komplexy táta imaginární část jo, ale jako když napíšete, že zrovna mínus tři plus dva, tak vám nikdo ho nikdy hlavu neutrhne anebo Neměl by jako to
Minuta: 72
je úplně stejný jako jako že máme jako že máme konvenci, že když píšeme polynomy, tak nejdřív píšeme ty vyšší mocniny těch polynomu jo, že třeba když píšu kvadratickou funkci y se rovná. Já nevím x na druhou plus 3 x plus 5, jo? A jako co no. Ale když to napíšu, že y se narovná 5 plus 3 x plus x na druhou, tak se vůbec nic jako nestane. Jo? Prostě nás jako je to sčítání a odčítání sčítání je komutativní jo, takže úplně žádný problém, můžete napsat 2 mínus tři a nebo mínus tři plus dva je to úplně jedno jo, ale jako konvence je to ale mezi námi to končí velmi často porušujeme jo, když bude když budu mít výraz umýt funkce y rovná se mínus x na druhou plus 16. Jo, tak aby se mi s tím jako hezčí pracovalo líp se mi líbily jsem
Minuta: 73
si představoval třeba nějaký nějaký nějakou nějaké vzorečky při při když to budu chtít rozkládat, že jo, tak si to napíšeme jako 16 mínus x na druhou a je to úplně úplně jako v pohodě a děláme to úplně běžně, jo. Takže takže jako určitě to není byt a samé do kamene, že to tak vždycky musí být je to dobrý zvyk, aby se to lépe jako četlo. ale ale není to něco jako by ten Vašek by z toho vašeho výsledku, kdyby to bylo v písemce, že by to jakoby najednou bylo neplatné, to už to v žádném případě jo, tak no a pak bychom si něco chtěl ještě jo. Teď je tady ještě další zajímavý dotaz je opačná operace k násobení dělení, nebo je to faktorizace a opačná nás operace k násobení a dělení faktorizace. Nyní operace jako matematická, to je jenom Napsání faktorizace je víceméně jako
Minuta: 74
z angličtiny převzatý termín pro rozklad na součin, jo. Takže třeba když si vezmu ten náš ten náš předchozí, ta jídle výraz 16 mínus x na druhou. Tak tenhle ten výraz se dá rozložit na čtyři mínus x krát 4 plus x. Jo a teď jsem právě provedl, tak za mnou faktorizace neboli rozklad na součin. Jo a víš, že jsem nic nedělal. Jo a opravdu opačná operace k násobení a dělení faktory a zase jenom jenom jako napsání téhož v jiném tvaru jo. Dobře, tak jdeme na dělení. Takže takže já jsem tady dal takový hint jo, že jo. Dva plus tři lomeno 5. Mínus 3i mobil tam 5 mínus třetí, že jo. Jo bylo tak super bezvadný. a
Minuta: 75
teď Ten trik, jak jak jak to nebudu dělat. Teda je, že je to vynásobím a nebo rozšířím. Vyjde jsem ti říct komplexně sdružený číslem, že jo. A my jsme na to co tady komplexně Sdružené číslo na to je to je číslo, které má opačnou imaginární jednotkou, jo, takže pět plus tři i tak až budu mít nějaký komplexní číslo, z který je. A působí, tak k němu komplexně Sdružené číslo většinou se značí z s pruhem, někdy se značí z s hvězdičkou, každý si to značí, jak chce jo, ale důležité je vždycky ten autor na začátku napsal, co tím myslí, tak komplexně Sdružené číslo, ale většinu našich jako v našich krajinách většinou ten proužek takhle nad tím jako čárka Je a mínus B jo?
Minuta: 76
Takže třeba když budu mít číslo dva plus tři a chtěl bych tohle to číslo komplexně z tak dostanu 2 mínus 3 3 komplexně Sdružené číslo dva plus tři a dva -3,5. Mám s tím dva plus tři i ty jo, takže já to rozšířím takzvaně komplexně sdružený číslem, že to se stane. No normálně to prostě rozhlasovým, jak kdyby to byly písmenka. Jo a v dole, že jo se samozřejmě stane kouzlo, protože tady mi začne fungovat vzoreček a mínus krát a plus B, takže když to udělám 5 mínus 3 x 5 plus 3D, tak dostanu co 5. Na druhou mínus 3 na druhou, že jo, jo. pak a nahoře to prostě různá suvi, 2x 5 10 2x, 3x 6. 3
Minuta: 77
x 5 je 15. A třikrát tři ej9 i na druhou no, no. tak No a to kouzlo je samozřejmě v tom, že najednou jsme se zbavili tady dole toho komplexního čísla, protože i na druhou o to, že jak protože 3E to celé na druhou je vlastně 9 ji na druhou, že jo a i na druhu je Mínus jedna jo. Takže tady mám devět krát Mínus jedna jo. A celý to ještě odečítá male. Tak to je detail, takže nahoře vám 10. Plus 9 i na druhou, ale fakt je mínus 9, že jo, protože i na druhou je Mínus jedna, takže 9 krát Mínus jedna. Tohle je mínus devítka 10 minut 9
Minuta: 78
Ty jo jsem nějaký zaseklý úplně v těch číslech furt stejný a dole budu mít co 5. Na druhou je 25. mínus 9 x Mínus, jedna je mínus 9 plus 9 a mám 1 plus 21 lomeno 34, což je krásný komplexní číslo, protože to je 1
Minuta: 79
Třeba čtyřkou 5 mínus 7. No tak to prostě došla k sobě, kdyby to byly písmenka 4 x 25 mínus 4 x 28 mm, takže to víte, že vlastně jako je to hrozně krásný, protože to celé funguje a používáme k tomu furt stejné principy, na které jsme zvyklí, jo? To je na tom to je na tom to pěkný. dobře takže Můžeme vlastně vrátit zpátky k tomu našemu úplnému začátku, že jo? My jsme jak jsme s tím kompletní číslu dostali. My jsme se k nim dostali tak že jsme chtěli, že jsme chtěli odmocňovat záporné číslo, jestli se nepletu, že jo. My jsme hledali jsme řešili rovnici x na druhou plus
Minuta: 80
1, že se rovná 0 Ok a že to jsme dostali jsme dostali x na druhou se rovná mínus jedna teď bychom to teda chtěli odmocnit že jo a co dostanu v levo teda odmocnina z x na druhou je copak je odmocnina z x na druhou Absolutní hodnota z X. Přesně tak a vlevo dostanu odmocninu z mínus jedné Jo a odmocnina z mínus jedné já jsem to tak takhle smazal. Prosím tam chtěl mít prostor, ale odmocnina z mínus jedné To je právě to íčko, že jo, protože ji na druhou je Mínus jedna. Jo, takže to bude řešením naší rovnice, když absolutní hodnota z X je Odmocnina z mínus jedné tak, to znamená, že x je plus nebo mínus odmocnina z mínus jedné chilli, to je plus nebo mínus. Jo a najednou
Minuta: 81
umím vyřešit umíme řešit kvadratické rovnice, který mají v pod odmocninou záporné číslo. Jo hele, to je super a další způsob, jak bychom tohle to mohli mohli udělat je, že bychom to mohli. Vektorizovat rozložit na součin a jak bychom to mohli rozložit na součin? No ale bych si mohla napsat jako x na druhou mínus mínus 1. Eva kotrčová Kdybych rozkládal. Co kdybychom skládali x na druhou mínus 16. Tak tady udělám co tady vezmu odmocninu z toho x to je x na druhou z toho to je to je i respektive hornosín. Asi pravdu absolutní hodnota x, ale já si tady vezmu jenom tu kladnou čas. Takže X. odmocnina
Minuta: 82
z mínus 16 je tady je 4 že jo udělal bych tenhle ten rozklad že jo x mínus 4 x 4 To by byl na rozklad a ta mínu čtyřka To je ta odmocnina z těch 16 že jo tady úplně stejně x-minus To je Co to je i krát x plus a plus odmocnina z mínus jedné Jo fajn a pojďme vyzkoušet. Dá nám to ty kořeny, kdy je tohle 0 tohle, co závorka bude nula, když x bude plus. I tahle závorka bude nula, když xbr a mínusy čili dostáváme stejný řešení, že to stejný kořen a ty rovnice a když roznásobit tak x krát x na druhou super, to jsem tady měl x x x a pak mám mínus krát mínus x neboli mínusy a ty se mi odečtou a pak tady mám
Minuta: 83
mínus krát mínus i na druhou ji na druhou je mínus jedna Mínus Mínus jedna plus jedna je to tady jo, takže můžu i takovýmhle způsobem a po faktory zovat jo teda rozkládat, protože to co furt aktualizujte, jaký jsou asi to bude stačit ne? Jo dobře. Pojďme se podívat dál. Pojďme si zkusit vyřešit nějakou nějakou složitější. tu Kvadratickou rovnici x na druhou Co třeba plus 2 x plus 6. Rovná se 0 jo, tak jak byste řešili tuhletu rovnice jo léku, nejdřív byste si zkusili zamyslet, jestli se to nedá rozložit, že jo. Zjistili byste, že nedá a pak byste se jako začaly počítat diskriminant. hm Anebo byste si doplnili naštve,
Minuta: 84
kdo se díval na svého kvadratických rovnic. I tak by to neřešil třeba přes diskriminace. Šlo by to doplnění na čtverec, jak bychom tady doplnili na čtverec. No tak to je X. Na druhou x plus 1 to celé na druhou a to je x na druhou plus 2 x plus jedna a oprava mínus jednička plus 6, ne? Tak Takže mám x plus 1 to celé na druhou. Music Na plus 6. J5, když to odečtu. Tak dostanu se rovná mínus pět a teď to budu moc ním ne. A mám co mám absolutní hodnota z X plus 1 7 na odmocnina z mínus pěti, že jo? To znamená, že x plus jedna Je buďto plus nebo mínus odmocnina z mínus pěti. To znamená, že x je odečtu mít
Minuta: 85
od odečtu jedničku, že jo? Teď chci vypočítat. Kolik je x odečtu jedničku, tak to bude Mínus jedna plus mínus. Odmocnina z mínus pěti a mám řešení. Jo mám řešení nemám řešení, že jo. A tady je nějaká odmocnina z mínus pěti. Umím umím. Umím odmocnit mínus pětku. Doteď zatím u mě odmocnit jenom mínus jedničku, že jo. Vím, že odmocnina z mínus jedné její. Nepomohlo by nám tohleto, abychom mohli odmocňovat třeba i mínus pět, nemohli bychom si mínus pětku napsat jako a pět krát Mínus jedna mohli, že jo. Teď to rozložíme na odmocnina z pěti krát odmocnina z mínus jedné. A bude to prostě odmocnina z pěti krát a odmocnina z mínus jedné je to íčko, že
Minuta: 86
jo, že najednou dostávám, že to je teda Mínus jedna plus mínus odmocnina z pěti krátký. Jo a mám krásný řešení v komplexních číslech a proto vždycky vzpomeňte si, když ty, když jste řešili kvadratické rovnice třeba na začátku střední školy a došli jste k tomu, že diskriminant záporný, tak jsme řekli v reálných číslech si to nemá řešení, protože nemáme v reálných číslech neumíme odmocnit mínus pětku. Jo nemáme žádné reálné číslo, které by které by bylo odmocninu z mínus pět, ale teď když jsme Jako vykročili pryč z té naší jedné linie hosté z té realio si jakoby do další dimenze, jo, tak najednou. Už umíme odmocňovat záporné čísla a používáme k tomuto komplexní jednotkou jí. Jo a mimochodem úplně stejnému výsledku by jste se dostali,
Minuta: 87
že už jsem že někdy by jste to počítali přes diskriminant, jo, kdybych tady jenom na čerty z kriminálního tak diskriminant je b na druhou mínus čtyři a co to znamená. To je 2. Na druhou mínus 4 x 1 x 6, což je aha Což je kolik čtyři mínus 24. To je mínus 20. Jo? Ax12 teda bude mínus. B čili mínus dva plus mínus odmocnina z mínus 22 až dvěma áčko 1. No a copak to tady máme? To je mínus dva děleno dvěma je Mínus jedna plus mínus a odmocnina děleno dvěma, ale ta odmocnina z mínus 20, abych ji mohl napsat jako odmocnina z 20 krát odmocnina z mínus jedné lomeno
Minuta: 88
dvěma, což je odmocnina z 27 částečně odmocnit ne když tu dvacítku rozložen na 4 x 5 tak to bude odmocnina ze 4 krát odmocnina z pěti To znamená že to bude dvakrát odmocnina z pěti že tu máme Mínus jedna plus mínus a špatnej jsem už tady v klidu skoro tak pokračuj tady Mínus jedna plus mínus a odmocnina z 20 teda jsme řekli že bude Odmocnina ze čtyř krát odmocnina z pěti odmocnina ze čtyř jsou dvě, takže dvě odmocniny zpětně, že jo, takže dvě odmocniny z pěti krát odmocnina z mínus jedné. To je to íčko, že jo lomeno dvěma po krátím a mám Mínus jedna plus mínus odmocnina z pěti krát i jo, tak mě se tady jedné zajímavých věcí. Zajímavá věc
Minuta: 89
je ta, že když že nám vyšlo mínus jedna plus odmocnina z pěti i to byl první, to je první kořen X1 X2 je mínus jedna Mínus odmocnina z pěti, i když máte řešení kvadratické rovnice a tím řešením toto řešení je v komplexních číslech máte nějaké komplexní číslo řešení kvadratické rovnice. Tak automaticky. Automatický i komplexně Sdružené číslo bude řešením kvadratické rovnice a dokonce to takhle funguje pro všechny polynomy, pokud jakmile máte jakýkoliv bonus Rico polynom s reálnými koeficienty. Jo to znamená tyhlety koeficienty, tady jsou reálné číslo cca, tak když máte koeficient s reálnými koeficienty a ten má nějaký komplexní kořen, tak jste si jistý tím, že bude mít i komplexně sdružený kořen. Jo a tohle
Minuta: 90
je další typický příklad u přijímaček, kdy oni vám řeknou. Hele víme. A Víte, že Víte, že kořen první kořen nějaké nějaké kvadratické rovnice je třeba dva plus tři i ty jo, tak to je čtyři mínus. Jo tohle je kořen první kořen kvadratické rovnice, jo a oni řeknou se stavte tu rovnici jo? No a tak jakmile vím, že první kořen je čtyři mínus 2. I, tak vím, že i druhý kořen bude nebo ne, že i druhý a vím, že tam bude i druhý komplexní kořen a ten nebude 4 plus 2e. Jo a teď můžu se stavit už tu kvadratickou rovnici, protože vím, že každý
Minuta: 91
polynom se dá rozložit na součin x-minus první kořen. X-minus 2. Kořen a tak dále. Podle toho jaký jenom jakého řádu by to bylo jo, no. že takhle bude to vypadat ta naše Roudnice a kdyby ještě klidně mohlo být nějaké čísílko jo nějaká konstanta ale Kašli na ní prostě řekneme že to je jednička Jo a tak co dostaneme dostaneme x-minus první kořen to znamená mínus čtyři mínus být až do budem odečítá celé tohle šli mínus 4 plus 2 krát x mínus Tohle je mínus čtyři mínus 2 in jo rovná se nula a teď už to akorát po násobím a Peugeot a po nás oběma mám hotovo. Jo a mám sestavenou tu tu kvadratickou rovnicí, jejíž kořeny jsou
Minuta: 92
tyhle ty dvě čísla komplexu, takže To no, prostě buďto to můžu brutálně jako vynásobit, že jo. A nebo si tady všiml, že to je vlastně zase vzoreček a plus B. Tohle je a a tady je a mínus. B jo, takže bychom mohli říct, že to je a nadruhou mínus b na druhou, že jo? Takže a na druhou je x na druhou mínus 8 x plus 16 mínus b na druhou je mínus. Dvě i na druhou, což je 4 i na druhou, což je mínus. Čtyři s mínusem i s tím mínusem mi to dá plus 4. Jo. Takže naše rovnice bude vypadat x na druhou mínus 8 x plus 20. Rovná se 0 jo. No tak ano jdu Krása tak
Minuta: 93
kolik máme 7
Minuta: 99
Tak
Minuta: 100
přátelé jsem zpátky a Budu odpovídat teď teď na spoustu dotazů jedeme Super, tak budu odpovídat na spoustu dotazů, je tam strašně moc dotazu. Takže takže budu budu budu odpovídat jo. Tak Tak teď je tady dotaz vzorce pro obecnou kvadratickou rovnici a s na druhou plus b XC70 je klasický vzoreček pro diskriminant s diskriminantem, že jo pro kvadratickou rovnici. Tak jak jsme to tady před chvílí dělali. Zajímaly by mě obecným vzorečky pro pro kubickou rovnici. To je dotaz a podívej se na nebo podívejte se na Jmenuje se to jsou to tak zvané kardanový vzorce. Jo kardanu byl italský matematik, i když bud na patnáct
Minuta: 101
set něco č. 16. Století, jo, cardano a a Je to vlastně hrozně zajímavý příběh. A tenhle ten kardanu a byl to Ital 500 něco až nevím kolik jo století a a on přišel na to, jak se dá obecně vyřešit kubická rovnice do té doby to lidi neuměli do tý lidi do té doby lidi uměli vyřešit kvadratickou rovnici a já se ještě zavřu okno a vlastně on použil tuhle tu svojí znalost na to, aby Aha, aby získal, aby získal místo na univerzitě jo, což je chceš, takže hrozně vtipný tenkrát to bylo tak,
Minuta: 102
že že když jste se chtěli někde ukázat o nějaké místo jako profesora nebo tak, tak to tak to fungovalo tak, že že jste vyzvali jiného profesora na souboj, ale ne ne z se zbraněmi, ale ale matematik to cardano přišel na to jak vyřešit kubickou rovnici a použil tohle to v tom svým souboji, jo a já mám pocit, že teda jako díky tomu získal tohoto místa. Nevím přesně jaký zhruba kdeco detaily, ale ale jako měl měl jsem motivaci přijďte, protože do té doby to nikdo neuměl. Jo, takže on přišel jako s něčím úplně novým a já údajně jako jako tomu svému sokovi zadal vyřešit tuhle tu kubickou rovnici, jo, nebo jaký je kubický Jaký je řešení kubických kubické rovnice a nikdo to do té doby neuměla. on to a mám to vymyslel a mimochodem a ty kardanový vzorce ty ty
Minuta: 103
a to jsou takový jako poměrně sledujete nebo jako pravidelně Tak Víte, že jsem několikrát říkal, že jsem se snažil do kardanovych vzorců jako proniknout a nikdy se mi to nepodařilo se vždycky jsem to vzdal a věci jak je dlouhý vzorečky a pro řešení kupro obecný řešení kubické rovnice a Tam je vlastně na tom zajímá jen jedna věc a ta věc je ta, že kubická rovnice vždycky vždycky má. Alespoň jeden reálný kořen. A a pak může mít dalšího, protože když máte kubický polynom, tak kubický polynom vypadá takhle obecně. No to je kubický polynom skladnou s kladným koeficientem u x na třetí a vždycky bude mít jeden reálný aspoň jeden reálný
Minuta: 104
kořen, protože mám alespoň jednou protíná osu x jo, ale kdyby den pane proti autu 8x jenom jednou, ale pod protínaly třikrát a pak bude mít tři reálné kořeny, že jo. A tenhle ten polynomial takovýhle by měl jen na reálný kořen a dva komplexní kořeny, který tady jako nejsou vidět, jo? A k tomu abyste se dobrali k těm reálném kořenů v tom reálném kořenům přes ty cardanovy vzorce. Tak právě potřebujete udělat odmocninu ze záporného čísla čili to bylo vlastně jako první a pravděpodobně to byl první moment, kdy jako vyvstala potřeba. Jak zavést ty komplexní čísla jo? A v té hře Doporučuji kardanu něco o ceně na Wikipedii. Najdete prostě k stránek držím palce. Držím palce. a tak
Minuta: 105
teď je tady hrozně zajímavý dotaz, který se mi strašně líbí. Dá se pomocí komplexních čísel odvodit soudní se pomocí komplexních čísel odvodit součtové vzorce pro goniometrické funkce sinus a kosinus. Děkuji a dají Ale budete k tomu potřebovat Habrovou větu. A problém je v tom, že když chcete dokázat dokazovat vávrovou větu, tak potřebujete součtové vzorce pro syny a kosiny. Takže vlastně jako nedají je to takový jako jako důkaz v kruhu. Jo a součtové vzorce pro syny a kosiny se dají odvodit čistě geometrické a Když mám odvozený ty součtové vzorce pro prosím jako syny, tak potom pomocí nich můžu
Minuta: 106
dokazovat vávrovou větu. Jo má v hlavě ptá, jestli je ta, která říká, jakým způsobem se násobí dvě komplexní čísla, když jsou v goniometrickém tvaru. Jo a AV a Používají se tam právě ty právě ty součtové vzorce a myslím si, že mám takový pocit, že zrovna tohle to ukazuji. Třeba se v tom kurzu na komplexní čísla. Já jsem s ním ale jo určitě. Já tyhle věci většinou odvozu, takže myslím si, že to tam nejde, tak tak. Takže spíš bych na to šel opačně jo, jako. Pokud by jste to vzali, takže mohla Ve Vita platí, že je dokázaná a to tak z toho jako odvodíte součtové vzorce pro síň. A cos ini jako Ok. Problém je v tom, že když chcete dokázat to má budou větu, tak budete potřebovat ty ty součtové vzorce jo, ale hele neříkám, že jsem o Vávrová věta nedá dokázat nějak jinak bez součtových vzorců. Možná že pravděpodobně by to asi šlo třeba přes tu komplexní
Minuta: 107
exponenciálu, jo, jenže vtip je v tom, že jako nezačnu použil kompletní exponenciálu, tak je otázka, jestli jestli náhodou zase se nedostanu do toho, že už jsem někde potřeboval součtové vzorce pro síň. A cos jiný, jo, takže to by chtělo Jako zmapovat, kvůli jsme se tam dostali a protože už jsem jako poměrně pokročilé fázi té matematiky. Jo taky otázka, kudy vedou ty vnitřky toho dukazu, no, takže tak. Tak teď je tady další Otázka je technický. Chci se zeptat záznamy ze streamu se z YouTubu. Máš ho nebo někde zůstávají? Našla jsem jen do dvou týdnů Starý určitě zůstávají, když přijdete na náš kanál, tak tam ty tak tam ty streamy jsou souvisí tady s tím i i druhá poznámka Marku na kanále na Seznamu live streamu. Je to pro střední školu je spousta streamu dvakrát oprav to prosím. Děkuji za upozornění mrkneme na to, jo. tak tak teď je tady další dotaz. Dobrý den pozvěte
Minuta: 108
někdy Mirko rokytou přednáška o fermatovy věty pro labužníky, včetně historických hádanek v knize toho bylo více než na vaší YouTube přednášce. Díky Fanda, Fanda, o to je jasný. Já ho jako do knížky se toho vždycky dostane víc než jako do hodinového vydá. No a tak určitě ne nepovažuji za pravděpodobné, že bych s panem rokytou natáčel znovu o fermatovy, viď? Je, protože to bylo vlastně jedno z prvních videí, které jsme spolu natočili. Možná do konce první. Ale ano jsme domluveni 6. Ledna si máme zavolat a a budeme. Budeme se bavit o tom co co to natočím a dál včel a doufám, že to bude umožněno jaksi epidemickou situací a a budeme budeme moct natočit nějaký další video hrozně moc se na to těším. Tak ahoj Marku, kom rozumíš komplexním pro boční stům nerozumím do té doby, než jste se mě na to zeptal, i tak jsem Co to je o přestávce jsem rychle googlil a
Minuta: 109
a a je to a bude to pravděpodobně něco zajímavého. A je to Je to téma, na které se které se asi asi pravděpodobně trošičku podívám. Ať si o tom něco dozvím, ale komplexní prvočíslo nerozumím, tak a Další hrozně zajímavý dotaz. Dá se k komplexním číslem v rovině komplexní rovině chovat jako k vektorům. Ano dá je to nuda akci a s tím, že musím být samozřejmě coajak opatrně v některých věcech, ale ano, dá se s ním, dá se k nim chovat jako k vektorům už proto, že když máte číslo v komplexní rovině, tak to číslo je vlastně definovaný nebo nebo u Eco. No definovaný dvěma souřadnicemi, že jo reálnou souřadnicích třeba tři a komplexní a imaginární souřadnicích. To imaginární části že jo.
Minuta: 110
Takže tohle to je vlastně číslo 3 plus 2 e a já bych ho ale taky mohl, já bych ho taky mohl reprezentovat bude m32 v té komplexní rovině, nebo případně Vektor m32 chilli. Je to skvělej dotaz a hrozně se mi líbí existuje vlastně vzájemné jednoznačně zobrazení mezi vektory a komplexními čísly jo vektory v rovině a komplexními čísly a proto se tyhle ty věci můžou mezi sebou vlastně jakoby zaměňovat, jo? A je to a a a otevírá to potom a otevírá to potom jako. Obrovský možnosti například, když máte když máte třeba Vektor v rovině a chtěli byste ten Vektor jako za rotovat jo pootočit kolem počátku, tak jedna z věcí je, že můžete napsat, jak
Minuta: 111
by jak bude vypadat matice rotace nějakého vektoru. Jo a nebo si jenom Vektor můžete reprezentovat komplexním číslem a vynásobit ho komplexním číslem, který který reprezentuje pootočení o ten daný úhel jo včely. Ano ano, dá se to a je to je to úplně skvělý. tak další Dá se například 1 lomeno 32 přečíst jinak než 1 32 na 1 lomeno 32. No asi nedá no. Nebo nevím 1 32 nano nebo 1 lomeno 32. No, ale asi s Kdybych chtěl říct, co to je, tak je to v 1 32 na jo. ano tak dobře Dobrý den, jakou část matematiky neumíte a Chtěl byste se jí naučit obecní položená otázka jakou
Minuta: 112
činnost nebo předmět ve škole byste se v budoucnu chtěl naučit a teď ho neumíte. Děkuji za odpověď a mějte se dobře. A to je skvělá. Otázka je akorát, že kdybych měla vyjmenovávat, jakou část matematiky neumím a neumím tak tady budeš do rána jo? To je to je asi důležité, abychom si abychom si jako řekli. Jo tak Řekni mi, že tahle ta celá tabule. Jo je veškerou matema je veškerá matematika, kterou kterou lidstvo umí, jo, tak moje znalosti jsou. Bojím se tam mikroskopická tečka, která doufám není ani vidět, jo, takže Tohle jsou moje. Tohle jsou moje znalosti matematiky, jako v tom jako co jako windom obrazu, jo. Takže prostě já se
Minuta: 113
a mezi náma jo, když jsme u toho jo, tak kdyby kdyby zase tohle byli celý všechny matematicky něco tak tak aby to nevypadalo, jako že jsem jako úplně jako katastrofální musera jo, tak znalosti profesionálního matematika, jo budou třeba jako takhle velký. Stejně tak jako kdyby jste se bavili s nějakým věc s nějakým fyzikem jako co všechno z té fyziky, jakou neumí. Jo tak tak to by si za odpověď by byla zhruba podobná, to je vlastně. Je to je to vlastně je fantastický a zároveň až jako děsivý, ale ale zároveň velmi jako na jednu stranu měsíc na druhou 7 jako povzbudivý jo, že díky technologiím. Díky hele. Díky tomu jak dobře se máme jo? Díky tomu, že už
Minuta: 114
už nemusíme a Jako od rána do večera pracovat na poli. Jo a abychom si zajistili živobytí díky tomu, že že že to že to že máme co jíst. Tak já nevím, jestli dneska se o to stará jedno procento populace. Tak ten byt zbil zbyl a zbylých devadesát devět procent populace se může zabývat věcmi, které nejsou spoje spojený s Holým přežití. A to znamená ten jako jak to říct společenské a ekonomické a jako industriální rozmach jako umožnil obrovský Boom vědy a techniky. Jo budu mezi námi a Věda a technika stála. Zatím zatím zatím zatím vývojem ty Civilizace. Jo vlastně jako že bychom se bavili o jakémkoliv vyrobit kufr Civilizace, tak můžete ty stopy toho, kde se na to přišlo nebo kdo na to přišel. Nebo jak jsi to vymyslel, tak pravděpodobně vystupujete
Minuta: 115
nějakého fyzika nebo nějakého matematika nebo nějak. Ing. Někoho, kdo prostě nad tím Bádal jo, ale dřív to bylo tak, že jeden z milionů nebo já nevím kolik a mohl se zabývat jako vyjedou, jo. Většinou to byly jako lidi někde na univerzitách nebo a velmi často, aby vůbec jako mohli přežít, tak museli mít nějaký mecenáše, jo. Takže takže stejně tak jako bohatí lidé jako sponzorovali svoje oblíbené umělce. Jo a byli mecenáši umělečtí, tak byly takzvané mezi návštěvu vědečtí, jo, který který jako říkali. Hele vím, že všemu britský boháči, který ke mně tyhle věci zajímají. Jo badej a tady máš prachy, ať to můžeš dělat jo a nemusíš nemusíš prostě pracovat na tom, aby jsi se uživil a a a a sponzorovali takhle vědce a matematiky fyziky a tak jo velmi často to bylo na královských
Minuta: 116
Dvorech a tak a Takže s tím jak vlastně ta dnešní. Ta naše Civilizace se přesunula od toho, že už nemusíme od rozbřesku do do do Západu Slunce jako pracovat na polích nebo lovit někde v lesích zvěř, tak pak najednou to začalo mít prostor k tomu, aby mohl bádat. Jo a ten rozmach byl tak obrovský, že dneska něco Kdyby jste se bavili s nějakým nějakým fyzikem nebo matematikem jako před 200 lety. Jo, tak on by uměl všechno, rozuměl bych všemu, co to lidstvo uznalo, jo. Tak dneska je to tak, že že i ty největší nejšpičkovější lidi prostě rozuměj jenom zlomku toho, co to lidstvo zná jako úplně miniaturním kousku jo, takže ještě tak já si to bych se chtěl naučit nebo co.
Minuta: 117
Co neumím Je toho strašně moc. A jedeš na několik věcí neumím. To bych se chtěl naučit. A chtěl a už se to učím, jo, tak třeba věc, která je podle mě strašně zajímavá je teorie grafů a teorie grafů a diskrétní matematika. To je věc, kterou která mě jako na matfyzu minula a protože to měli matematici firmy fyzici jsme tohle neměli a a diskrétní matika a matematika a a a vlastně teorie grafů, to je třeba věc, do které teď tak jako trošku se snažím pronikat a čtu nějaké nějaké knížky a hodně koukám na videa, tak jo, takže Tak teď už nebude o týždeň live stream, tak Prime šťastné a veselé Vánoce celý rodinka těch Děkujeme za vysvětlení, já děkuji za přání. Mám radost,
Minuta: 118
že že vás to baví a tak. Tak teď je tady další jo? Jo, jo, tak tady máme zase dotaz. Na ty kardanu vzorce znám, ale v češtině jo. Teď je tady reakce na to, co jsem říkal o těch kardanových vzorcích. Carmen rozeznám, ale v češtině není moc dobrých zdrojů, ze kterých bych, ze kterých bych zjistil výsledek. Normálně Wikipedie, napište kardanový vzorce. Wikipedia tam máte celé odvození, jo? tak když rovnice s x na třetí se jmenuje kubická Jak se jmenuje rovnice s x na čtvrtou a x na pátou? a Ježišmarja A já jsem to věděl. A teď jsem zapomněl, že ono to
Minuta: 119
jako z angličtiny kvadráty q-bik Jste mě zabili, tak si nevzpomenu a já tomu říkám rovnice čtvrtého nebo pátého řádu jo? Ty jo. Má to nějaký To je ta párty to v ten pátek bude asi něco s nějakou Penta předložkou si myslím nebo něco takového. No kdyby jste mě zabili tak si nevzpomenu Jo a je dokonce možné že to třeba ani není ale myslím že by je pro mě 4. řádu je nějaký název a teď si teď si nemůžu vzpomenout tak Jaký je rozdíl mezi reálnými a komplexními funkcemi velikánský a Velikánský
Minuta: 120
komplexní funkce, to je úplně zase ještě jiný level mu proti reálným funkcí a asi kdybych řekl ten úplně nejjednodušší a ten na tu tu tu jako nejjednodušší noc. Ten Základní rozdíl, v čem se liší jo, tak to je to, že když máte nějakou funkci, že jo. Já často rád funkci kreslím jako takový jako Kafemlejnek, jo, když jsem ho neházím x, že jo. A padají mi z toho y jo, tak když máte ráno funkce reálné proměnné, tak jsem házíte ixia od reálné čísla a odpadají reálné čísla, jo, třeba, když by ta funkce byla y se rovná x na druhou, tak sem hodím a dvojku a vypadne čtyřka, jo, když tam hodím mínus do faka vypadá ki-45 vypadne 25, jo. No a když mám komplexní funkce komplexní proměnné No, tak jsem ho dovnitř házím komplexní číslo a vypadává komplexní číslo. No
Minuta: 121
A dnes je to sebou samozřejmě jeden jednu velkou jako nepříjemnost, jo a to je to, že se hrozně blbě kreslí grafy takovýhle funkcí, ono vlastně není možné nakreslit jako dobře graf takovýhle funkce, protože vy vlastně to co se snažíte udělat je, že zobrazuje t s komplexní roviny s komplexní roviny do komplexní roviny, ty grafy se potom se potom jak okrese je prostě blbě, jo? Ty si můžete říct, že třeba k tomuhle tomu tomuhle tomu číslu z třeba přiřadíte tady tohle, co komplexní číslo dvojité w Jo a a Blbě se to jako vizualizuje. No komplexy má funkci, má se zabývá takový jaký jsem ne komplexní analýza, kterou jsem měl a už nic není skoro vůbec nic nemám, ale dají se s ní dělat. Zajímavé
Minuta: 122
věci a například Pokud vás to jako zajímá, tak tak jeden z problémů tisíciletí je takzvaná Římanová hypotéza a pak se právě zabývá, ta se právě zabývá komplexními funkcemi. A pokud a zajímavými poté za krásnou přednášku na to má právě Mirko Rokyta a Natočil jsem s ním o tom i video, takže mám rimanov hypotézu s Mirko rokytou a nebo se můžete podívat na jeho jeho dávku, kterou udělal někde na přírodovědecké fakultě nebo nebo v planetáriu v Brně tam myslím taky dělala přednášku o riemannovy hypotézy pak.
Minuta: 123
Ano teď tady někdo píše. Ahoj Marku, já já jsem věděl Pavel Pavel samozřejmě Jasně. Pavel mi píše ano souši vzorce pro sinus a kosinus by se měli dát odvodit pomocí komplexní exponenciála. Toto je to co jsem to je to co jsem říkal. jasně, jasně, no, jasně, jasně Ale díky paráda. Budete někdy dělat základy diskrétní matematiky, spíš asi provoz. Hele nebudu, protože to ještě jsem sám učím, jo, takže až budu mít pocit, jakože, že tomu rozumím a a budu to mít dostatečnou expertizu, tak tak možná někdy ale ale to je ještě dlouhý přede mnou hodně dlouhá cesta, jo. Takže takže základy diskrétní matematiky, pravděpodobně se ode mě jen tak brzo nedočkáte, jo? Tak
Minuta: 124
Potřebuji pomoct parametrizaci pro křivkové integrály. Tak třeba mi napiš na mathematicator. Jo a můžeme dát nějakou konzultaci nebo tak asi. Akorát teda se omlouvám, ale nemám moc čas. Teď je to je to hrozně natřískaný a chci od neděle, jako si dát si dát trošku voraz a věnovat se rodině, takže Zkuste mi napsat, když to nebude nic složitého, tak jako nebo náročný vlaku dlouhého, tak tak se na to můžeme spolu podívat. Tak teď je tady dotaz jsou komplexní čísla jsou samotná nerozumím dotazu, takže bohužel neodpovím. Nevím, co s tím myšleno. Kdyžtak zkuste ten ten dotaz upřesnit, tak. No střídání mocnitel u kladných i záporných kdy sčítat mocniny a tak dále. Mám na to natočený natočené video
Minuta: 125
napište vědět a na mathematicator napište mocniny a odmocniny a dozvíte se všechno, co potřebujete o mocninách a budu mocninách jo. To bude lepší, než abych to tady teďkon tady rozebíral tak No tak jo přátelé moji milí. Potřeboval bych dělej poradit s dělením mnohočlenů zase na matematikator. Běžte dělení mnohočlenu mnohočlenem. Nebo polynomu polynomem jo vypadne na vás video, kde to vysvětluji od a až do z určitě to A to tam najdete no. Tak a teď je tady teda poslední příkladech, který udělám a tak dotazník zdraví. Potřeboval bych píchnout s následujícím úkolem, tak doufám, že se na to nedíval tvůj učitel tak
Minuta: 126
Určete počet všech přirozených čísel větších než 300 a menších než 5000, takže větších než 300 a že x je větší než 300 menší než 5000. Běž zápisech se vyskytují cifry 2 3 4 708 203 478 a To každá nejvýše jednou. Výsledek je 120, ale nevím jak jak jak ho dosáhnout. Jo dobře. tak Dobře, tak pojďme přemýšlet ne, takže chceme čísla tohle teda kombinatorická úloha, že jo čili. Spíš by se to hodilo do do streamu, který byl jako před dvěma týdny, ale to nevadí. Uděláme to je to je to hezký příklad.
Minuta: 127
Já bych na to šel asi úplně jako jednoduše, jo? Rozjel bych si to na trojciferný a na čtyřciferné čísla. Jo to znamená trojciferný a čtyřciferným. Dobře, když Budu uvažovat trojciferné čísla. To znamená musí být větší než 300. A musí být složené z těhle těch cipher a každá tam může být jenom jednou, co to znamená. No to znamená, že na první pozici si můžu vybrat jenom z raz dva tři čtyři v čísel, proč ze čtyřech No protože tam nemůžu dát dvojku, kdybych na první pozici dal dvojku, tak to bude číslo, které bude 200 něco že jo. Takže to znamená, že by nebylo větší než 300. Ale jakmile na první pozici dám trojku nebo čtyřku nebo sedmičku nebo osmičku. Tak
Minuta: 128
už dostanu číslo větší než 300 čili na první pozici si vybírám z těhle těch čtyřech čísel z trojky čtyřky sedmičky osmičky, protože každý si čísel můžu použít v tom zápisu jenom jednou, tak na tu další pozici už to číslo, které jsem použil tady nemůžu použít, ale zase můžu použít už tu dvojku zejména na tu další pozici můžu použít zase jedno ze čtyřech čísel a samozřejmě násobím, protože pravidlo kombinatorického součinu. Pokud Nevíte o čem mluvím, tak se podívejte na Stream 2. která Volvo kombinatorice jo, protože ke každé možností z tohodle a existuje Ke každé z těchto čtyřech možnosti existují čtyři možnosti jak vybrat cifru na tuhle tu pozici. No a potom Už vybírám jenom z tří čísel, že jo, protože dvě už jsem použil z těch pěti, takže to Takže takže kdyby chtěl čísla, který Kdybych chtěl čísla, které budou Trojciferný
Minuta: 129
že jo? Taky se 4 x 4 t16 X3 je 48, takže čtyři 48 z nich je trojciferných tak a teď čtyřciferné číslo. Kolik budeme mít čtyřciferných čísel že jo. To znamená, že to musí být větší nebo menší nebo rovno 4 9 9 9. Jo a a začínáme nějakou tisícovkou, že jo? A je 10000kč, tak to znamená, že na první pozici. Můžu tam já dát cokoliv nemůžu dát na první pozici cokoliv. Můžu tam dát dvojku tím dostanu čísla v řádu 2000 Kč tam dát trojku tím dostanu za čísla v řádu něco A4 4000 něco čili na tuhle tu, ale nemůžu tam dát sedmičku nebo osmičku, protože tím bych dal tím bych dostal číslo typu 7000 něco nebo osm něco a to není menší než 5000, že já na tuhle pozici vybírám tři čísla
Minuta: 130
nebo z tří čísel stricter spíš tak tomu To zná Ke každé z těchto tří možností mám na tuhle pozici, kolik možností. No v tam už si pak jakmile tady mám dvojku trojku nebo čtyřku. Tak už si semhle můžu dát cokoliv, že jo. To znamená jsem na tuhle pozici vybírám ze čtyř čísel, pak už jenom ze tří a pak jenom ze dvou 3 x 4 je 12 12 x 6 je 72. 48a 72 je 120. Tak jsme se do počítali. Jo, či občas. Stačí jenom si jako rozmyslet, jaký typ Hele dost často tyhle ty tyhle si kombinatorické úlohy, vlastně je potřeba. U nich si rozmyslet. Jaký typy těch výsledků mi můžou vznikat. Jo a tady se hrozně
Minuta: 131
nám vyplatilo to, že jsme si to rozdělili na trojciferný a čtyřciferné číslo jo? Předpokládám, že se vám to nedařilo, protože jste to chtěly udělat nebo tazateli jste to chtěl udělat jako najednou všechno jo, no. Tak jo, tak my si tady ještě něco ne přistálo. Vadí, když jsem ve čtvrtém ročníku na střední škole a zatím nevím nic moc o komplexních číslech a mám jít v plamen v plánu jít na technickou vysokou školu, ano? A ne ano. Potřebuješ se to naučit nutně ne. Máš ještě tři měsíce do přijímaček nebo 4. Nebo 5. Nebo nevím kolik jo, že máš ještě dost času, na to se to naučit z pohledu toho že Takže ne nevadí, že to ještě neumíš, ale ano, vadilo by kdyby ses to nenaučil. Jo nebo nenaučila, tak je potřeba to zmáknout. Jo tam se s vámi jako nebudou kecat. Jako
Minuta: 132
jestli víte, co jsou komplexní čísla nebo ne. Mimochodem to pravděpodobně bude v přijímačkách, jo. Takže takže tak No tak jo tak tak ano Tak ano, dej se teď ještě koukám. Jakým způsobem se dají odmocňovat komplexní čísla a komplexní čísla se dají odmocňovat? Se dají odmocňovat. Můžete dělat druhou třetí čtvrtou pátou odmocninu z komplexního čísla a dá se to dělat různými způsoby, protože už je 8
Minuta: 133
jedna z možností, jak se to dá velmi hezky dělat je přes komplexní číslo v tak zvaném v goniometrickém tvaru a jak říkám, kdyby jste to chtěli jako se naučit a potřebujete zmáčknout goniometric Mimochodem goniometrický tvar komplexního čísla běžná při běžná zase otázka v přijímačkách, jo, tak kdyžtak mrkněte na ten kurzík a takže Pomocí vlastně jako důsledkům Vávrovi věty v goniometrickém tvaru se s komplexní čísla odmocninou velmi hezky a jednoduše jo a pak tady někdo píše, že Honza šenk tady píše, že se to odmocnin nejjednodušeji přes exponenciální tvar komplexního čísla. Což vlastně asi přemýšlím jako
Minuta: 134
No ono to vlastně ono to vlastně jako Velmi podobné tomu goniometrickém tvaru. Asi jo, takže já to dělám přes goniometrický tvar jo, že jo Honzo. No já si to myslím taky, protože ty jsi napíšeš komplexní exponenciálu a vlastně i na cosinus sinus x, což je de facto vlastně, což je vlastně to samé jako jako goniometrický tvar, no, takže Takže jak odmocňovat komplexní čísla jedna z možností je goniometrický tvar, kdybyste chtěli, kdybyste chtěli odmocňovat komplexní čísla jenom druhou odmocninou, tak se to dá udělat jako čistě. On je britský. Jo a představ si, že chcete třeba udělat odmocninu a nevím z čeho odmocninu z mínus 5 plus 12V, jo?
Minuta: 135
a a teď teda předpokládejme, že to že ta odmocnina z tohohle toho bude. Pravděpodobně nějaký komplexní číslo. Jo, kdyby náhodou to nebylo komplexní číslo tak Nebojte, ona nám vyjde imaginární část nulová. Jo, ale my musíme předpokládat, že že že řešení, že že odmocnina z komplexního čísla je samozřejmé komplexní číslo, takže si napíšu nějaký obecný komplexní číslo a plus B a vyřeším tuhletu iracionální iracionální rovnice s neznámou ve jmenovateli prostě vyřešit rovnici. To znamená, že to vím na druhou, co dostanu vlevo vlevo dostanu mínus 5 plus 12V se rovná a vpravo dostanu a plus
Minuta: 136
b to celé na druhou. Jo tohle to povede na něco čemu se říká. Jak se tomu říká? Ani nevím, jak se to říká udělat do počítáme to a plus b to celé na druhou je a na druhou plus 2. A B plus B to celé na druhou, ne? Což je vlastně i na druhou je mínus 1. Takže tady bude mínus b na druhou jo, že mám a nadruhou mínus b na druhou. Plus dvě AB Jo a na levé straně mám mínus 5 plus 12V. Jo a to co tady teď mám vlastně rovnost dvou komplexních čísel kdy všimněte
Minuta: 137
si tady dle mi vzniká quazi má věc, že jo vlevo je komplexní číslo a vpravo je komplexní čísla jsou tady nějaký Jo a kubecku jsou reálné čísla samozřejmě jo, abychom tady máme algebraický tvar komplexního čísla a a b jsou reálná Jo a To znamená tadyhle a nadruhou mínus b na druhou taky nějaké reálné číslo, že jo? A tohle to je ta imaginární část. Jo a dvě komplexní čísla se rovnají, když se rovnají je Jejich reálné části. A když se jdu na jejich imaginární části a vy víte, že imaginární část je bez toho éčka. Jo chci aby tyhle dvě komplexní čísla k jedno mám vlevo Jedno mám v pravo aby byly aby byly stejný tak mínus pět se musí rovnat A nadruhou mínus b na druhou čili dostávám
Minuta: 138
první rovnici dostávám oranžovou rovnici která mi říká že a nadruhou mínus b na druhou se musí rovnat mínus pět a dostávám rovnici zelenou která vychází z rovnosti těch imaginárních složek a to je že 12 se rovná dvakrát AB Jo a tohle soustava dvou rovnic o dvou neznámých kterou vyřešíte povede to na nějakou rovnice 4. řadu budete muset pro mě pro mě udělat substituci a ale dá se to vyřešit poměrně jednoduše a vylezou vám Vylezu vám nějaké výsledky pro áčka a Béčka a dostanete dostanete řešení řešení téhle v téhle v té úlohy, že jo? Vyhledáme tu odmocninu. Jo, že tohle to je třeba způsob, jak to můžete vyřešit čistě algebraické jako bez nějakých bez nějakých goniometrických tvaru exponenciální tvaru a tak. Bohužel
Minuta: 139
to teda funguje jenom na druhou odmocninu jo. To je v okamžiku, kdy bych chtěl 3. Odmocninu, tak tady budu budu umocňovat na třetí. a mi Leze mi z toho rovnice třetího řádu jo a dokonce možná 6. řádu A to už ne u počítám Jo a tu třetího řádu bych možná ještě u pomocí substituce u počítá teda kdyby to byla Jasně Jako třetí o rovnici třetího řádu ještě pomocí kardanovych vzorců gudlak počítáte jo ale ale vyšší už ne jo ale ale je to vlastně jako zajímavý úhel pohledu že to je trošku jiný úhel pohledu než jenom klasicky prostě udělat goniometricky tvar goniometrický tvar a stejně tak jako s pomocí moivreovy věty nebo pomocí důsledkům Vávrové věty a umocňují komplexní čísla v goniometrickém tvaru Tak to můžete odmocnit
Minuta: 140
a pak tady jako je trošku jiný jiný přístup k tomu tak a17 2ab 703 Jo, fakt to byla rychlost. Ty jo. A2 A3 Ok dobře 2 a 3 Ok beru, ale měli by vyjít měly by být 2 V2 výsledky, když mám druhou odmocninu z komplexního čísla, tak bych měl dostat dva výsledky, jo, tak Pa substituce. Hele, tak to Pojďme do tak to jak tak já to dotáhnu jo, tak já to dotáhnu. Já to do počítám tak No tak co tak tady toto vydělíme dvěma a dostáváme, že a krát
Minuta: 141
B se rovná 6 To znamená, že to znamená, že A se rovná 6 lomeno třeba takhle a dej to sem dosadím a mám místo až k nám šest, takže budu mít 6 lomeno b to celé na druhou mínus b na druhou se rovná mínus 5. Jo a Tak teda už nevím, kam to mám dál psát jsem ještě takových jsem ještě vidět. Když budu když budu tady takhle si budu krčit jo, tak by mě moc neuvidíte, ale aspoň vidíte, co píšu, tak čili 6. Na druhou je 36 lomeno. B nadruhou mínus b na druhou se rovná mínus 5. A vynásobím to béčkem na druhou, takže dostávám 36 mínus B na čtvrtou mínus se rovná
Minuta: 142
mínus 5 B na druhou. To znamená že mám když to jsou všechno na jednu stranu, tak budu mít B na čtvrtou mínus 5 B na druhou mínus 36. Zrovna Andula. Jo a teď tady dělám tu substituci. Ona by to asi ne, já bych to substituci asi nutně ani nemusel dělat vymyslíme rozklad. Kdybys měla rovnice x na druhou mínus 5 x mínus 36, vymyslím rozklad 4x 930 649 158. GS plus 4 krát x mínus 9. A vidíte, teď jsem si tady vlastně udělal substitucí je b na druhou, jo, takže já tady můžu teď napsat, že to je b na druhou plus 4 krát b na druhou mínus 9.
Minuta: 143
a Jelikož Béčko má být reálné číslo, tak b na druhou plus čtyři, tohle mi jo. To má být rovný nule, že to tak bude na druhou půl 4 mi nehodí žádné reálné výsledky, ale takhle b na druhou mínus 9 mi hodí buďto po rozkladu. Plus amio třeba po rozkladu plus a mínus trojku jo, že B1 bude 3 a B2 bude mínus 3. Nova do počítače, že jo. Támhle dosadím a mám krásně ty dvě komplexní čísla, které budou budou řešením, jo. Takže takže to doděláme áčko j611 bude 6 lomeno 3. To je 2 a 2. Bude 6 lomeno mínus třemi a to je mínus dvě, takže ta
Minuta: 144
odmocnina z těch mínus 5 plus 12. Bude teda. Buďto dva plus tři a nebo mínus dva mínus tři. Tohle jsou jsou od moci dvě odmocniny tohle toho komplexního čísla jo, takže buď na za dva plus tři i jo. Akorát bacha vždycky Hele tohle je docela zajímavá věc, jo. vždycky kolikátou dělám odmocninu komplexní? Prach v bytě kolikátou odmocninu z komplexního čísla dělám tolik musím dostat výsledků. Jo, když dělám druhou odmocninu musím dostat dva výsledky. Možná Existují nějaké výjimky. Myslím, že ne. Jo a Pavle Existují nějaké výuky nebo ne. Myslím, že ne, že jo.
Minuta: 145
Myslím, že ne ano, ne. Já si taky myslím jo. Tím když děláte třetí odmocninu dostanete 3 výsledky, když děláte pátou odmocninu dostanete 5 výsledku, dycky, jo, a pak mnohem. No jako je hezčí to jednodušší se líp se to dělá to, že tomu goniometrickém tvaru. Jo a to ne, protože svině na to můj kurz PL si srandu, abychom tady byli ještě asi hodinu a půl. Jo takže to tak přátelé, mockrát vám děkuji. Mějte se krásně a dneska je co dneska je úterý ve čtvrtek, psali jste si pokecat i Stream. Takže ve čtvrtek bude kecací stream nebudeme dělat žádnou matiku. Ledaže byste mě k tomu donutila a je možné, že se toho streamu zúčastnit. Tomáš pizza, který
Minuta: 146
učí s náma češtinu. Takže můžete přijít i na Tomáše a pokud by Tomáš nemohl, tak tak si s vámi budu povídat jenom já ve čtvrtek. 5h Buďto v 5

Předchozí video

DEFINIČNÍ OBORY FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH, INTEGRÁLY - Matika pro VŠ s Markem Valáškem ― 5. díl

Další video

Jak vzniká duha... a kolem ní druhá